Introdução
Desde que o homem percebeu que existia uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo, onde os valores acumulados se desvalorizavam em termos de futuro, estes sentiram a necessidade de estabelecer novos conceitos em relação as suas transações comerciais e financeiras, criando-se assim, o conceito de juros, que tem sido amplamente utilizado ao longo da história da matemática financeira e é de fundamental importância para a tomada de decisões em investimentos. Por isso, o estudo da história da matemática financeira é de vital importância para quem quer compreender o mundo dos negócios, como ele se apresenta na atualidade. Uma história que apesar de ter começado com o escambo, que era a troca de mercadorias por mercadorias, e de ao longo do tempo ter passado por várias mutações até chegar aos dias atuais, onde se trocam mercadorias por dinheiro, não necessariamente moedas, e sim, em uma grande maioria de vezes por títulos que representam valores; em sua síntese não mudou muito, pois, ainda manten-se os mesmos conceitos existentes desde o princípio dessa história.
História da matemática financeira e sua importância para a construção do conhecimento matemático financeiro.
A origem da matemática financeira está intimamente ligada a dos regimes econômicos e ao surgimento do crédito e do sistema financeiro e todo o seu desenvolvimento está ligado a utilidade do dinheiro que gera dinheiro, quando a sua simples propriedade não apresenta rendimento algum. Assim, os processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda truxeram a idéia de juros, que se realizam basicamente, pela percepção do valor tmporal do dinheiro. Mas o juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da matemática financeira e econômica, é também uma aplicação que quase não sofreu mudanças ao longo dos tempos, apenas algumas práticas foram adaptadas às exigências da nossa época. E todas as prátias que persistiram ao longo do tempo, foram práticas lógicas no tempo de sua origem. Um exemplo é o empréstimo das sementes, pois estas quando emprestadas para a plantação de uma determinada área, o que era lógico era esperar o pagamento na próxima colheita que se dava no prazo de um ano. Já para os financiamentos das viagens comerciais, como estas se alongavam para além de um ano, eram então estabelecidos juros compostos. Hoje, os juros são remunerações pagas pelo uso do dinheiro e diferenciam-se do capital porque resulta da aplicação financeira, enquanto o capital é o motivo dessa aplicação, porém, como em tempos remotos, essas aplicações também são calculadas por juros simples ou compostos, dependendo de cada situação.
Há muitos textos dos primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações, como consta nas tábuas matemáticas, que há 4000 anos a. C. na Mesopotâmia, os sumérios mais antigos já estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais como, faturas, notas promissórias, juros simples e compostos, hipotecas e outros mais. Além de terem desenvolvido um dos primeiros sistemas numéricos compostos por sessenta símbolos. Diante de tal histórico, vê-se que o estudo da matemática financeira é de vital importância para qualquer pessoa que queira entender o mundo atual da forma como ele se apresenta, pois, os fluxos de capitais que correm pelo mundo, tornam economias estáveis em instáveis de uma hora para outra e decisões de cunho social, são tomadas considerando-se os aspectos financeiros como os mais relevantes. Enfim, o dinheiro ditando as regras em quase todos os aspectos da vida humana.
Do escambo ao surgimento da moeda.
O escambo foi o primeiro tipo de permuta comercial existente na terra e foi um sistema no qual se fazia uma troca direta das mercadorias, em geral, gêneros agrícolas e pecuários, sem a intervenção da moeda, que na época, nem se conhecia. Esse sistema de troca direta durou por vários séculos e assim foi-se trocando gado por grãos, sal por café, cacau por cerâmicas e assim por diante, de acordo com os interesses e necessidades de cada um. Foi daí que surgiram, entre outros, os termos: “salário”, referente ao pagamento feito com sal e “pecúnia”, do latim pecus que significa rebanho.
Com o passar do tempo, foi-se percebendo a necessidade de um sistema de avaliações relativamente estável e de equivalências, fundado num princípio que dava a definição de algumas unidades ou padrões fixos, onde é sempre possível estimar tal ou qual valor. E assim, a medida que o comércio se desenvolvia, os metais começaram a se destacar nas transações comerciais até se tornarem a moeda de troca preferida dos vendedores e compradores. E as avaliações das diversas mercadorias passaram a ser feitas pelo peso, sempre referente ao peso padrão de cada metal. Mas essa logística comercial exigia um sistema monetário mais apropriado, que facilitasse os negócios, os pagamentos oficiais, a cobrança de impostos e limitasse as medições repetitivas dos pesos dos metais preciosos. A ação conjunta dessas circunstâncias condicionou o surgimento de um disco de metal precioso, com desenho próprio e com peso determinado - isso culminou com a criação da moeda cunhada, como a conhecemos até os dias atuais.
Atribui-se aos reis lídios, a invenção da cunhagem de moedas. Lídia, situada na Ásia Menor, era uma cidade-estado próspera no início do séc. VI a.C. Os nomes dos primeiros gravadores de moedas são desconhecidos, perderam-se no tempo, mas evidências arqueológicas confirmaram o nome do rei Aliates, da Lídia - que governou entre 610 a 561 a.C. - como a primeira autoridade a emitir moedas com monograma, representando o governo de um estado.
Operações de porcentagem
Percentagem ou porcentagem é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100. Ou seja é dividir um número por 100.
1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
R: 10% = 10/100
10/100*300 = 3000/100 = 30
300 – 30 = 270
Pagarei R$ 270, 00
2. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?
R: 120% 35 000
100% x
120x = 100*35.000
120x = 3.500.000
X = 3.500.000/120
X = 29.166,67
Cálculos de juros
Juro é um atributo de uma aplicação financeira que deve ser paga por um devedor pela utilização do dinheiro do credor.
Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação. Ex:
Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 160% ao ano, durante 12 meses. Qual o montante obtido no final dessa aplicação?
R: C=15.000 M = C (1+in)
i = 160% a.a. M = 15.000 (1+1,6 . 1)
n = 12 m = 1a M= 15.000 . 2,6
M = ? M = 39.000
Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital. Ex:
Se você aplicar hoje R$ 85.000,00 em um título, quanto poderá retirar daqui a 4 meses, admitindo que o rendimento deste título é de 11 % a. m. para juros compostos?
R: C = 85.000 M = C (1+i)n
n = 4 m M = 85.000 (1+0,11)4
i = 11% a. m. M = 85.000 (1,11)4
M = ? M = 85.000 . 1,52
M = 129.035,98
Exemplares de aplicações financeiras nas empresas atualmente
CDB - Certificado de Depósito Bancário
RDB - Recibos de Depósito Bancário
O CDB e o RDB são títulos de renda fixa, representativos de depósitos a prazo, utilizados pelos bancos comerciais como mecanismos de captação de recursos.
Estes tipos de investimento envolvem uma promessa de pagamento futuro do valor investido, acrescido da taxa pactuada no momento da transação.
Ao comprar um CDB, você está emprestando dinheiro para o Banco e recebendo juros em troca. Ao final do prazo contratado, o banco deve lhe pagar o valor aplicado (principal), acrescido da remuneração prevista quando da aplicação.
Esta remuneração nunca é negativa. A diferença entre os CDBs e os RDBs é que os CDBs podem ser negociados antes do vencimento, enquanto os RDBs são inegociáveis e intransferíveis.
Porém, no caso do CDB, negociar o título antes do prazo mínimo implica em perda de parte da remuneração (devolução com deságio).
É importante lembrar que tanto o CDB quanto o RDB podem ser resgatados junto à instituição emissora, antes do prazo contratado, desde que decorrido o prazo mínimo de aplicação. Os prazos mínimos para aplicação e resgate de CDBs e RDBs variam de 1 dia a 12 meses, dependendo do tipo de remuneração contratada. Antes disso, não são auferidos rendimentos.
Conclusão
A história da matemática financeira reflete uma ciência milenar e tão sábia que até os dias atuais continua sendo a base primordial para que se construa o conhecimento matemático financeiro que possa interagir com as transações financeiras e comerciais nos termos avançados da atualidade. Podendo-se compreender o que acontece no mundo dos negócios, principalmente, compreender as oscilações e instabilidades, como estão se dando a níveis mundiais, pois, para quem trabalha com finanças, é fundamental conhecer as origens das aplicações financeiras; quando e porque razão surgiram. Isso porque assim terá mais condições de avaliar as aplicações financeiras de forma mais ampla, podendo construir o seu amadurecimento sobre o assunto com o qual vive lidando e através do qual toma atitudes decisivas e vitais, pois a matemática, em especial a financeira, faz parte do nosso dia-a-dia, em grande parte de nossas decisões. Porque assim é o nosso mundo: Capitalista e empreendedor.
Exercícios
1. Um investidor obteve um montante gerado a partir de um capital de R$ 1.500,00, quando aplicado a taxa de 60% a. a. com capitalização mensal, durante um ano. Qual foi o montante obtido?
R: M = C (1+ i )n
M = 1.500 (1+ 0,05)12
M = 1.500 * 1.79585
M = 2.693,78
2. O Sr. Matos investiu um capital, após um período de 5 anos, que ao ser aplicado a taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, gerou um montante de R$ 1.969,93. Calcule o capital investido.
R: M = C (1+ i )n
1.969,93 = C (1+ 0,06)10
1.969,93 = C * 1.79084
C = 1.969,93/1.79084
C = 1.100,00
3. Qual a taxa anual equivalente a:
a) 3% ao mês;
b) 30% ao semestre com capitalização bimestral.
R: a) (1+ i1) = (1+ 1,03)12
1+ i = (1+ 1,03)12
1+ i = (1.42576)
I1 = 1.42576 – 1
I1 = 0.42576
I1 = 42,57% a. a.
b) (1+ i1) = (1+ 0,10)6
1+ i1 = (1,10)6
1+ i1 = 1.77156 – 1
I1 = 0.77156
I1 = 77,15% a. ano.
4) Desejamos resgatar um título por R$ 1.645,41, com 4 meses antes do seu vencimento. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% aa com capitalização mensal, no regime de desconto racional composto?
R: A = N/(1+ i)n
1.645,41 = N/ (1+ 0,05)4
1.645,41 = N / 1.21551
N = 1.645,41 * 1.21551
N = 2000,00
Referências
História da matemática. Artigo. Publicado em: http://www.suapesquisa.com/matematica Acessado em: 18 abr. 2009.
GONÇALVES, Jean Piton. A História da Matemática Financeira e Comercial. Publicado em: http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php Acessado em: 18 abr. 2009.
História da matemática desde o século IX a. C. Artigo. Publicado em: http://www.somatematica.com.br/historia/seculoix.php Acessado em: 18 abr. 2009.
Matemática Financeira Prática. d.barreto@tricury.com.br. Artigo em PDF. Publicado em: Páginas do Google. Acessado em: 18 abr. 2009.
SCHWABB. CDB/RDB. Publicado em 23 jul. 2007. Em http://carteiradeinvestimento.wordpress.com/financas-pessoais/cdbrdb Acessado em: 27 abr. 2009.
UNOPAR. Universidade Norte do Paraná – Unopar Virtual. Material didático. Módulo 5. Curso de administração bacharelado. Slides e textos complementares. 2009.
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